RESEÑA HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRIA
El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.
Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.
Tolomeo prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.
La función seno, sin(x)
- Dominio:
R - Imagen:
[−1,1] - Periodo:
2π rad - Continuidad: Continua en todo
R - Creciente en:
…⋃(−π2,π2)⋃(3π2,5π2)⋃… - Decreciente en:
…⋃(π2,3π2)⋃(5π2,7π2)⋃… - Máximos en:
{π2+2π⋅k ,k∈Z} - Mínimos en:
{3π2+2π⋅k ,k∈Z} - Paridad: Impar,
sinx=−sin(−x) - Cortes con el eje Ox:
x=k⋅π ,k∈Z
La función coseno, cos(x)
- Dominio:
R - Imagen:
[−1,1] - Periodo:
2π rad - Continuidad: Continua en todo
R - Creciente en:
…⋃(−π,0)⋃(π,2π)⋃… - Decreciente en:
…⋃(0,π)⋃(2π,3π)⋃… - Máximos en:
{2π⋅k ,k∈Z} - Mínimos en:
{π⋅(2k+1) ,k∈Z} - Paridad: Par
cosx=cos(−x) - Cortes con el eje Ox:
x=π2+k⋅π ,k∈Z
La función tangente, tan(x)
- Dominio:
R−{(2k+1)⋅π2,k∈Z}=R−{…,−π2,π2,3π2,…} - Imagen:
R - Periodo:
π rad - Continuidad: Continua en
R−{π2+kπ,k∈Z} - Creciente en:
R - Máximos: no tiene
- Mínimos: no tiene
- Paridad: Impar
tanx=−tan(−x) - Cortes con el eje Ox:
x=k⋅π,k∈Z
Propiedades y ejercicios de las razones trigonométricas
MODELOS MATEMÁTICOS DE LA LEYES DE SENO Y COSENO
Teorema o ley del seno
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
Ejercicios
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.
Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.
Teorema o ley del coseno
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplos
Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
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